Inequality 10

Bài toán. Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$ ta luôn có \[\frac{\cos^{2}\frac{A}{2}\cos^{2}\frac{B}{2}}{\cos^{2}\frac{C}{2}}+\frac{\cos^{2}\frac{B}{2}\cos^{2}\frac{C}{2}}{\cos^{2}\frac{A}{2}}+\frac{\cos^{2}\frac{C}{2}\cos^{2}\frac{A}{2}}{\cos^{2}\frac{B}{2}} \geqslant \frac{9}{4}.\]

(Trần Nam Dũng, Việt Nam TST 2007)

Lời giải. Sử dụng công thức $\cos\frac{A}{2}  = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$ ta được \[\sum \frac{\cos^{2}\frac{A}{2}\cos^{2}\frac{B}{2}}{\cos^{2}\frac{C}{2}} = \frac{p^4-2(16R^2-r^2)p^2+(4R+r)^4}{16p^2R^2}.\] Do đó ta quy bài toán về chứng minh \[p^4-2(16R^2-r^2)p^2+(4R+r)^4 \geqslant 36p^2R^2,\] hay là \[p^4+2(r^2-34R^2)p^2+(4R+r)^4 \geqslant 0,\] hoặc \[9(4R^2+4Rr+3r^2-p^2)^2+(4R^2+4Rr+3r^2-p^2)[8p^2+28(R-2r)^2+72r(R-2r)]+4r(R-2r)^2(4R+r) \geqslant 0.\] Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Euler's và bất đẳng thức Gerretsen's.