Inequality 9

Bài toán. Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tác giác. Chứng minh rằng \[(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \geqslant 6\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b}\right ).\]

(Trần Nam Dũng, Việt Nam TST 2006)

Lời giải. Chú ý rằng \[(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) = \frac{p^2+4Rr+r^2}{2Rr},\] và \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b} = \frac{2(p^2-Rr-r^2)}{p^2+2Rr+r^2},\] nên bất đẳng thức trên tương đương với \[\frac{p^2+4Rr+r^2}{2Rr} \geqslant \frac{24(p^2-Rr-r^2)}{p^2+2Rr+r^2}.\] Quy đồng và thu gọn thành \[p^4+2r(r-9R)p^2+r^2(32R^2+30Rr+r^2) \geqslant 0,\] hay là \[\frac{5}{8}(p^2-16Rr+5r^2)^2+\frac{3}{8}(p^2+5r^2)(p^2-16Rr+5r^2)+8r(R-r)\left [p^2+5r^2 -16Rr-\frac{r^2(R-2r)}{R-r} \right ] \geqslant 0.\] Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Yang Xue Zhi.