Inequality 8

Bài toán. Cho $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác nhọn. Chứng minh rằng
\[\frac{(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})}+\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}\geqslant 2.\]
Lời giải. Chú ý rằng \[\frac{(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})} = \frac{2r^2}{(p+2R+r)(p-2R-r)},\] và \[\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}=\frac{2r}{R},\] cho nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \[\frac{2r^2}{(p+2R+r)(p-2R-r)}+\frac{2r}{R} \geqslant 2.\] Quy đồng và thu gọn thành \[(R-r)p^2 \leqslant 4R^3-2Rr^2-r^3,\] hay là \[p^2 \leqslant \frac{4R^3-2Rr^2-r^3}{R-r},\] hoặc \[p^2 \leqslant 4R^2+4Rr+3r^2-\frac{r^2(R-2r)}{R-r}.\] Đây chính là bất đẳng thức Yang Xue Zhi.